第四集 追逐无尽的身影[墓碑]

小翠是谁？小翠是一个5岁到25岁，长相丑陋or平庸or美貌的小女孩or姑娘or媳妇，她
是生活在娄县城 中的somebody。娄县是个小地方，但四月的小地方风物优美，此时的
小翠最喜欢坐在老王的牛车上兜风。老王是谁？老王是小翠的爷爷or父亲or老公， 是
赶大车的somebody。今天的天气格外的好，小翠的心情却不怎么样，老王的牛车走不
了两步路就会硌噔一下，小翠的魂都被颠出来了。
这只能怪东村的张铁匠，小翠咬着银牙恶狠狠的想。自从老王到铁匠的汽修厂换了一
个轮胎，牛车就成了这副样子。最可气的是铁匠死不认错，一口咬定他是按照"灰驴"
给轮胎上的铁箍子。至于为什么铁箍子会短那么一点儿，铁匠说那可不是"灰驴"的
错，只能怪老王人品不好。
这头"灰驴"是什么驴，这么牛逼！小翠百思不得其解，就这么想着想着，车似乎也没
那么颠啦。
在县衙一个阴暗的角落里，一对父子正做着"灰驴"的勾当。昨天县老爷坐老王的牛车
回府，路走不到一半骨头就快散架。老王苦瓜着脸跟他抱怨了半个多小 时，意思是祖
老爷你这么牛逼，绝对比什么"灰驴"要牛逼得多，你就不能想个办法解决下我这车的
毛病。要知道张铁匠可是张县丞的第三房姨太太的哥哥的外甥的 媳妇的舅舅，他的汽
修厂是现今娄县方圆八百里内唯一一家，要是每辆牛车都在他那换个轮胎，用不着多
久你祖老爷就喊不到的士了，就算有你也坐不了啊。祖县令 一想也是，回家赶紧把儿
子叫上想办法。
爷俩耗了一晚，才想明白老王口中的"灰驴"是怎么回事儿。三国时魏国出了一位天才
人物，叫做刘徽1，他花了好多年研究了圆的周长与直径的比值，最终用"割圆术"把这
个值定在3.141这个小数点后第三位的位置，后人为了纪念他，把这个值称为"徽率"。
虽然祖家二父子怎么算都觉得不关"徽率"的事，张铁匠明显有点类似民科拿科学概念
糊弄群众的嫌疑，但他俩还是寻思着把徽率再完善完善吧。
"幼儿园阿姨教育我，今天的事今天做。"两父子说干就干。于是一天过去了、两天过
去了……春去秋来，花开蒂落，日复一日，这件事儿花了爷俩一年的时 间，作演算的地
方也从巴掌大的绸册转移到三尺见方的书案再到县衙的正堂最后移到乡下的谷仓。在
小翠的印象中，老王把牛车卖了好久祖老爷才把"灰驴"给杀 了，此时的老王已经改行
做了铁匠。
祖老爷和祖少爷的算法同刘徽差不多，就是场面比刘徽做得恢弘。他们在谷仓的地板
上画了一个直径一丈的大圆，从圆内接正三角形开始计算，依次把多边形 的边数翻
倍，直到24576边。这个时候的多边形，长相上已经非常接近圆。两父子把多边形的边
长算出来，乘以边数，再除以一丈，得到一个近似分数 355/113，继而将圆周率定在
3.1415926与3.1415927之间，在徽率的基础上把小数位推后四位。这一成就比欧洲类
似的成果早了1000 多年，后人为了纪念祖冲之2、祖暅之3也称之为"祖率"。
七位小数的圆周率对铁匠来说是足够了。但时光荏苒千年，在天文学盛行的16世纪，
祖率之类的精确度远远不能满足那个时代天文学家的需要，毕竟星球运转的轨道比铁
箍不知道大了多少。于是另外一位高手出现了，他就是德国的鲁道夫4。鲁道夫同样是
用"割圆术"这样的方法，但他玩得更盛大！他花费毕生时间求值，最终通过构造一个
正262边形，在死前一年将π的取值定到35位。他挂的那天提出要求，将这35位π值刻在
了墓碑上。
德国人把π叫做鲁道夫数，这个称呼直到今天还被沿用。用鲁道夫的π =
3.1415926535897932384626433832795028计算一个可以囊括太阳系的圆的周长，误差
甚至不到质子直径的百万分之一。鲁道 夫把"割圆术"用到了极致，自鲁道夫后，再也
没有人可以在古典法求圆周率上超越他，人们知道要想更精确而不发疯，方法必须有
所改进。
此后，圆周率的精度不再是计算必需品了。一般性的运算，能用到鲁道夫的π已经相当
不错，圆周率的求解无疑成了数学家探索精妙算法的表演。1706年，法国数学家蒲丰
5做了一个投针实验：他在桌子上铺好一张画着平行等距线的白纸，然后将很多长为
2cm的小针随意投掷在纸上，掷完后将投针数除以针与平行线交叉的次数，发现结果非
常接近于π。数学家因此发现了一种与众不同的求值方法。
又经过一百多年，1844年刘维尔6证明了π是一个超越数，数学家开始以一种全新的眼
光来认识这个古老数字。1873年英格兰数学家威廉·桑克斯7创造了新的圆周率近似值
记录。他依据级数的理论，运用算式π/4=4tan-1(1/5)-tan-1(1/239)将π推到707位，
并将结果发表在1873－1874年皇家学会会刊上。老桑得意忘形，于是效仿鲁道夫将这
一长串的数字刻在他的墓碑上，他的墓碑直到20世纪初还待在巴黎博览会的天井中。
1944年，另一位数学家弗格森着手研究π的取值，他用与桑克斯类似的算式
π/4=3tan-1(1/4)+tan-1(1/20)+tan-1(1/1985)将圆周率推到了808位，同时弗格森据
此质疑桑克斯的结论。经验证后发现在第528位上桑克斯犯了一个很小的运算错误，从
而导致后面的100多位都错了。
弗格森推断桑克斯错误的方法非常巧妙。他发现π的结果中各数字即使交替出现，但上
镜率是大致相等的。根据概率理论，在707位的数串中每个数字露脸 的次数都应该在
70次上下不远浮动。观察桑克斯的计算结果，7这个数只出现了50多次，较之70实在是
太少了。弗格森由此断定计算有误，事实证明也确实如 此。
1961年，美国人用计算机将π算到第十万位，1973年更是达到百万位。1983年，两名日
本研究员田村吉秋和金田安正在几个礼拜之内，先是将π推到2097152（221）位，接着
4194304（222）位，最后是8388608（223）位。这个时候π值精度的意义，已经远不是
张铁匠口中的"灰驴"那个层次了。
山巅一寺一壶酒（3.14159），尔乐苦煞吾（26535）。把酒吃，酒杀尔（897932）。
杀不死，乐尔乐（384626）。圆周率就有若一壶美酒，吸引众多的数学先行者，他们
追逐无尽的身影，深深留在历史长廊中。
注1：刘徽（生于公元约250年），三国后期魏国人，是中国古代杰出的数学家，也是
中国古典数学理论的奠基者之一。
注2：祖冲之（公元429年-公元500年），字文远，南北朝时期著名数学家、天文学
家。
注3：祖暅之，南朝齐梁间数学家，一作祖暅，字景烁，祖冲之的儿子。
注4：鲁道夫（Ludolph van Ceulen 公元1540年-公元1610年）
注5：蒲丰（公元1707年-公元1788年），法国博物学家、数学家、生物学家、作家。
他的思想影响甚远，其中包括达尔文和拉马克。
注6：刘维尔（Joseph Liouville 公元1809年-公元1882年），法国数学家。他做的最
令人感动的事情是出版伽罗瓦（这个人的故事会在第三季《没有》里面提到）的论
文，在这之前伽罗瓦的文章根本得不到数学界的承认。刘维尔将文章刊登在《纯粹与
应用数学》杂志上后，世人才开始关注年轻天才的理论。
注7：威廉·桑克斯（William Shanks 1812-1888）这个人八卦不多，但是他的出生地
就很八了。桑克斯出生于英格兰诺森伯蓝郡。我们小学学过一篇关于琥珀的课文，文
中讲述的全世界最古老的琥珀就发现自那里，距今约有三亿年的历史。英格兰足球巨
星博比·查尔顿也出生在诺森伯蓝郡的阿欣顿。电影《哈利波特》中霍格沃兹魔法学校
的主城堡实地拍摄自诺森伯蓝郡安尼柯小镇的安尼柯古堡。美剧《越狱》的男猪脚扮
演者米勒（Wentworth Earl Miller III）名字中的"Went"原指诺森伯蓝郡的一条河
流。